كيف أن الشواذ الخماسية أنت معادلة مختلفة

ابدأ بما تراه

شنق وزن من الخيط. اسحبه إلى جانب واحد. اتركني. إنه يتأرجح.

لقد قمت للتو بإنشاء نظام تحكمه معادلة متمايزة

d/dt= d)/dt = - (g/L) ; sin(of)

"الزاوية". um هو السرعة الجزيئية. )ز( الجاذبية )٩,٨١ م/٢(. L هو طول الخيوط. ويقول هذان الخطان: فالزاوية تتغير بمعدل يعادل السرعة، وتتغير السرعة بمعدل يعتمد على الجاذبية والطول والزاوية الحالية.

المشكلة: لا يمكننا حل هذه المعادلة بالضبط. (زكز) يجعله غير خطي. لا توجد صيغة تعطيك الوصية في أي وقت. لذا نحن تقريباً نمضي قدماً في العلاوات الصغيرة، ونحسب الحالة التالية من الحالة الراهنة.

هذا ما يفعله مُحلّل إدارة الأعمال. وهناك طرق أفضل وأسوأ للقيام بذلك.

The Euler Method: Obvious but Flawed

أبسط فكرة: إذا كنت أعرف الدولة الآن، وأنا أعرف معدل التغيير، يمكنني تقدير الدولة خطوة صغيرة في وقت لاحق.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

هذه طريقة (إيلر). انه مثل المشي عبر الضباب يمكنك رؤية خطوة واحدة للأمام لذا خذ هذه الخطوة ثم انظر مرة أخرى. الرمز:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

طريقة (إيولر) دقيقة. هذا يعني إذا خفضت حجم الخطوة إلى النصف، كنت نصف الخطأ. وهذا الخطأ يتراكم بالنسبة لشبه جزيرة ويحصل خماسي المحاكاة ببطء على الطاقة ويرجح بشكل أوسع وأوسع. بعد بضع دقائق، انها تدور في دوائر كاملة. قلم رصاص حقيقي لا يفعل هذا.

RK4: The Workhorse

In 1901, Carl Runge and Martin Kutta published a better method. وبدلا من النظر إلى معدل التغيير مرة واحدة لكل خطوة، انظر إليه أربع مرات:

1. قم بقياس المنحدر عند بداية الخطوة
2. خطوة في منتصف الطريق باستخدام K1, مقياس المنحدر هناك → k2
3. خطوة في منتصف الطريق باستخدام مقياس كيلوغرام 2 مرة أخرى
4. خطوة إلى النهاية باستخدام الكيلومترات ثلاثية القياس مرة أخرى
5. Combine: weighted average (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6

هذا الرابع دقيق. تخفيض حجم الخطوة والخطأ ينخفض بعامل 16. الخماسي يحتفظ بالطاقة بشكل صحيح لآلاف الأرجوحة.

وهذا الادعاء يستحق التحقق بدلا من التصديق. أسفل، كلا الأسلوبين دمج y′ = y من صفر إلى 1 حيث الجواب الدقيق هو* بأربعة خطوات أحجام. إنهاء الخطوة يقسم خطأ (إيولر) بحوالي 2 و4 بحلول 16, وهذا ما يعنيه الأول والرابع.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

هذه هي الطريقة التي يستخدمها بي جي إكس للخنازير، وحفلات الربيع، ومحاكاة فان دير بول. إنها نفس الطريقة المستخدمة في حسابات مسار الفضاء الجوي. 22 خط شفرة.

لماذا هذا الأمر خارج الفيزياء

القلادة مثال تعليمي. لكن نفس التقنية خطوة للأمام، قياس، صحيح ينطبق في أي مكان لديك معدل تغيير:

• النمو السكاني: د.س/د = × = × (1- x/ك). النمو السوقي مع القدرة على الحمل. نفس المذيب.
• ردود الفعل الكيميائية: تتغير التركيزات بمعدلات تناسب التركيزات الحالية. نفس المذيب.
• الشبكات العصبية: يُعتبر النسب المتدرج مصنفاً من نوع ODE. كل خطوة تدريبية هي خطوة (إيلر) على طول سطح الخسارة.
• اقتصاديات: مركبات فائدة مستمرة عن طريق dy/dt = SR. النمو التجريبي هو أبسط أسلوب إدارة الأعمال.
• توقيت الإقلاع: إن تخفيف المنحنىات هي حلول لمخططات إدارة المباني في فصل الربيع. الـ "الرائع" و "البقعة" في "بي جي إكس" هي محاكاة جسدية.

الحساب لا يتغير. المجال كذلك. هذا ما يجعلها لغة نفس الغرام يصف فرز الخرافات، التأرجحات الخماسية، وتدريب الشبكة العصبية.

جرب بنفسك

افتحي (بي جي) و اختاري مولد النظام الديناميكي. اختر "الخيار" تأرجح البوب. الآن تغيير المعايير:

• زيادة الجاذبية swing سرعة التأرجح (فترة قصيرة)
• زيادة طول القضبان ) أبطأ (فترة أطول)
• بدء من زاوية أكبر watch مشاهدة كيف ترتفع الفترة (أثر غير خطي أن الكتاب التقريبي للزاوية الصغيرة)

كل تغيير تقوم به هو القياس. لقد غيرت بارامتر وراقبت النتيجة. مُحلّل (آر كي 4) أعاد حساب 30 إطارًا للثانية، وأظهر لك الخماسي ما تتنبأ به المعادلة.

هذا هو المغزى. الرياضيات هي القياس. PinePaper يجعلها واضحة.

المراجع

• الجزار، J.C. (2016). * الطرائق الناظمة للمعادلات التفاضلية العادية* )الطبعة الثالثة(. (وايلي).
• دورمند، ج. ر. الأمير، بي جي. (1980). (عائلة من (رونج كوتا. Journal of Computational and Applied Mathematics, 6(1), 19-26.
• Euler, L. (1768). * نظام الحساب المؤسسي*، المجلد الأول. 1. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum.
• Hairer, E., Nørsett, S.P., " Wanner, G. (1993). * إلغاء معادلات التفاضلية العادية الأولى: المشاكل غير التعريفية* (الطبعة الثانية). سبرينجر.
• Kutta, W. (1901). Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. * Zeitschrift für Mathematik und Physik*, 46, 435-453.
• (نيوتن)، أنا. (1687). * الفلسفة الطبيعية الرياضيات*. (جوزيف سترايتر).
• (رونج)، (سي). (1895). Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. Mathematische Annalen, 46(2), 167-178.
• Strogatz, S.H. (2015). * Nonlinear Dynamics and Chaos* (2nd ed.). Westview Press.

---

PinePaper مذيب ODE يغطي Euler، RK4، وDormand-Prince RK45 في حوالي 200 خط. جرب محاكاة الخماسي مجاناً في [بينبايبر.ستوديو/محرر] (زكاز).