วิธี ที่ ลูก ตุ้ม สอน คุณ

เริ่ม ด้วย สิ่ง ที่ คุณ เห็น

จับน้ําหนักจากเชือก. ดึงไปด้านนึง. ปล่อยนะ. มันแกว่ง.

คุณเพิ่งสร้างระบบที่ควบคุมโดยสมการอนุพันธ์

dθ/dt = ω dω/dt= -(g/L) ไซน์ (θ)

○ คือ มุม. ○ คือ ความเร็ว ของ อาร์กติก. g คือแรงโน้มถ่วง (9.81 m/s2). L คือความยาวเส้น. เส้นสองเส้นนี้บอกว่า การเปลี่ยนมุมด้วยอัตราเท่ากับความเร็ว และความเร็วเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราที่ขึ้นอยู่กับแรงโน้มถ่วง ความยาว และมุมปัจจุบัน.

ปัญหา: เราไม่สามารถแก้สมการนี้ได้. sin(θ) ทําให้ไม่เป็นเชิงเส้น. มันไม่มีสูตรที่ให้ θ เมื่อใดก็ตามที่ t. เราประมาณ -- เราก้าวไปข้างหน้าในจํานวนน้อย คํานวณสถานะต่อไปจากรัฐปัจจุบัน.

นั่นคือสิ่งที่นักแก้ปัญหา ODE ทํา. และมีวิธีที่ดีกว่านี้และแย่ลง.

วิธี อูล เลอ ร์: เป็น ที่ นิยม แต่ เป็น ที่ นิยม

แนวคิดที่ง่ายที่สุด: ถ้าผมรู้จักรัฐตอนนี้ และผมรู้อัตราการเปลี่ยนแปลง ผมสามารถประเมิน รัฐได้ทีละขั้น.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

นี่คือวิธีการของออยเลอร์. มันก็เหมือนกับการเดินผ่านหมอก คุณสามารถเห็นก้าวหนึ่งก้าวข้างหน้า. ในรหัส:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

ปัญหา:วิธีการของออยเลอร์ถูกต้อง. นั่นหมายความว่าถ้าคุณลดขนาดขั้น คุณลดความผิดพลาด. สําหรับ ลูก ตุ้ม ความ ผิด พลาด นี้ มี มาก ขึ้น — ลูก ตุ้ม ที่ ถูก จําลอง แล้ว ค่อย ๆ ได้ รับ พลัง งาน และ การ แกว่ง จะ กว้าง ขึ้น และ กว้าง ขึ้น. หลังจากไม่กี่นาที มันหมุนเป็นวงกลมเต็ม. ลูกตุ้มของจริง ไม่เคยทําแบบนี้.

อาร์เค4 : ม้างาน (RK4)

1901 คาร์ล รันจ์ และ มาร์ติน คุตตา ได้ตีพิมพ์วิธีการที่ดีกว่า ในปี ค.ศ. แทนที่จะดูที่อัตราการเปลี่ยนแปลงหนึ่งครั้งต่อก้าว ลองดู 4 ครั้ง:

1. วัดความชันในตอนต้นของขั้นตอน k1
2. กึ่งกลางโดยใช้ k1, วัดความชันตรงนี้ ○ k2
3. กึ่งกลางโดยใช้ k2, วัดอีกครั้ง ○ k3
4. ก้าวไปยังตอนจบโดยใช้ k3, วัดได้อีกครั้งหนึ่ง k4
5. การรวม: เฉลี่ยน้ําหนัก (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6

นี่เป็นลําดับที่สี่ที่ถูกต้อง. ลดขนาดขั้นและความผิดพลาดลดลงด้วยปัจจัยที่ 16. ลูก ตุ้ม เก็บ พลังงาน ไว้ อย่าง ถูก ต้อง สําหรับ การ หมุน หลาย พัน ครั้ง.

คําอ้างนี้คุ้มค่าที่จะตรวจสอบ มากกว่าการเชื่อ. ด้านล่าง, ทั้งสองวิธี รวม y′ = y จาก 0 ถึง 1 — โดยคําตอบที่แน่นอนคือ e -- สี่ขั้น ขนาด. การแยกขั้นตอนความคลาดเคลื่อนของออยเลอร์ โดยประมาณ 2 และ RK4 โดยประมาณ 16, ซึ่งเป็นสิ่งที่ลําดับแรกและลําดับที่สี่หมายถึง.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

นี่คือวิธีที่ PinePaper ใช้สําหรับลูกตุ้ม สปริง-มาส และแบบจําลองแวน เดอ โพล. มันเป็นวิธีเดียวกันที่ใช้ในการคํานวณเส้นทางอวกาศ. 22 บรรทัดของรหัส.

ทําไม เรื่อง นี้ จึง สําคัญ

ลูก ตุ้ม เป็น ตัว อย่าง การ สอน. แต่เทคนิคเดียวกัน ก้าวไปข้างหน้า วัด ถูกต้อง ใช้ได้ทุกที่ที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลง:

• ~ การเพิ่มขึ้นของประชากร~: dx/dt = rx(1 - x/K). การเติบโตแบบล็อกเอาต์ ด้วยความจุ. ตัวแก้ไขเหมือนกัน.
• ปฏิกิริยาทางกาย: ความเข้มข้นเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนที่เพิ่มขึ้น. ตัวแก้ไขเหมือนกัน.
• ** เครือข่ายภายนอก*: การสืบเชื้อสายคือ ODE ที่ถูกแก้ไขไปแล้ว. แต่ ละ ขั้น ของ การ ฝึก อบรม คือ การ ก้าว ไป ตาม ผิว นอก ของ การ สูญ เสีย.
• ดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง ผ่าน dy/dt= ry. การเติบโตของค่า x เป็นค่า ODE ที่ง่ายที่สุด.
• เวลาของการแสดง ~: การปล่อยเส้นโค้ง เป็นวิธีแก้ปัญหาของ สปริง-แดมเปอร์ โอดีกส์. การปล่อยก๊าซใน CSS เป็นแบบจําลองทางกายภาพ.