FFT實際上讓你看到了什麼

問題

在鋼琴上演奏和弦 說C和E一起. 你的耳朵聽到一個聲音. 但這聲音是超過兩個頻率的:261.6Hz和329.6Hz. 你的雞尾酒會把它們分開 不同的毛細胞在不同頻率下回應 向你的大腦發出不同的訊息.

快速傅里叶變形也有同樣的功能 但有數字而不是毛細胞. 給它一個信號( 隨時間推移的振幅樣本序列) , 它會傳回一個頻率和強度的清單 . 答案是:** 有多少頻率

到底發生了什麼

逐年抽查的訊號是數字列表: 每個樣點的振幅 . 一秒鐘的錄音是44100赫茲的數字. 這些數字描述的是時空域中的訊號 - 振幅作為時間的功能 .

FFT 轉換到 頻率域 - 振幅作為頻率的函数 . 相同的信息,不同的代表. 就像在笛卡爾和極地座標之間切換: 沒有建立或毀滅, 只有重新表示.

數學核心: 每一個周期性信號都可以被寫成不同頻率的正弦和余弦波的总和 . 這是Fourier的定理(1807年). FFT 計算總和的系数.. 信號裡有多少頻率.

為什麼"快"

用天真的方法來計算 Fourier 變化需要 N2樣本的操作. 1 024個樣本,大概有100萬次. Cooley-Tukey算法(1965年)把此算法降低到N&log2(N)- 約一萬次同樣的輸入操作. 一100x加速. 對一百萬個樣本來說 速度是5萬x.

技術:把 N 點轉換成 2 N/2 點轉換,循環轉換. 這要求 N 是 2 的權力( 或者您用 0 的 垫 ) . 每分一半的問題. 「蝴蝶」行動將兩半结合起来:

X[k]     = Even[k] + W · Odd[k]
X[k+N/2] = Even[k] - W · Odd[k]

W是複雜的指数( 複雜的平面中的旋轉) . 同兩個子結果給你兩個輸出點. 所以算法是"快".. 它重用每一次計算.

PinePaper的實施是一本教科书Cooley-Tukey radex-2 DIT(按時宣佈). 40行 JavaScript. 我們從零開始寫,而不是匯入圖書館, 因為我們希望學生能夠讀取來源.

那些巴的意思

當你看到光谱分析器.. 酒吧跳到音樂.. 每列代表一個頻率桶. 高度是目前信號中频率的大小( 強度) .

• 一個純正弦波.
• • 平方波** 在基本和奇特的口琴(第3、第5、第7、第7、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第2、第2、第3、第3、第5、第5、第7、第7、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第2、第3、第3、第5、第5、第5、第7、第7、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第3、第2、第3、第3、第5、第5、第5、第7、第7、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第1、第2、第2、第2、第2、第2、第2、第2、第2、第3、第3、第3、第3、第2、第3、第3、第. 這就是正方形的波 聽起來是"buzzy" - 它們含有純正弦沒有的高頻能量.
• 白色的噪音 到處都有高度大致相等的酒吧. 每一個頻率都有相同的可能性.
• 一個人類的聲音 產生一個基本的(你聽到的音) 加上成形物.. 共振的峰峰 來自你聲道的外形 分辨元音.

前三段如下: 點擊它們之間. 高度是公式, 不是畫: 正弦是 1 位於根本, 正方波是 1/n 奇怪的口琴.

視窗: 為什麼邊緣重要

有擒. FFT假設信號會永遠重複. 但是我們的樣本是有限的.. 它開始和停止. 如果信號在兩端沒有零點 突然的截斷會產生人工的高頻含量. 這叫做光谱泄漏.

固定 : 乘以窗口函數 , 它能平滑地在邊緣拍攝到零 . 共同視窗 :

• Hann(餘弦鐘):一般目的好,失去一些頻率分辨率
• Hamming:與Hann相似,但邊緣未達零度
• Blackman:主葉更窄, 更好的侧球壓抑, 失去更頻率的分辨率

選項總是取舍於頻率解析度(如何精确辨別頻率)和光谱漏漏(有多少能量流到鄰居的垃圾桶中). 沒有完美的窗戶. 這是不确定性原理的后果—— 您不能任意地精確地知道時間和頻率.

FFT住的地方

您與 FFT 的結果經常交換:

• MP3 和 AAC 壓縮 : 將音效轉換成頻率域, 丟棄聽力阈值以下的頻率, 壓縮剩下的. 轉換是失去音效壓縮的全部基础.
• JPEG 壓縮: 2D 版本( DCT) 將 8x8 像素區塊轉換成頻率域, 将高頻元件量化 . 所以JPEG的藝術品才會出現在街頭上.
• WiFi 和 5G: OFDM 編碼在很多頻率子卡路里分割資料. FFT 在時域傳輸與頻域數據符號之間轉換 .
• MRI成像:磁共振掃瞄器的原始信號在頻率空間. 反向 FFT 重建空間影像 . 從字面上看,你見過的每一次核磁共振都是反向的Fourier轉變.
• Shazam: 計算光谱( FFT 過滑動視窗) 、 提取峰值、 符合數據庫的樣式 . FFT是認出每首歌的第一步.

一個60歲的算法,在你口袋里, 每天跑數十億次.

試試看

開啟 PinePaper, 選擇 Spectrum 分析器產生器 . 生成方波. 看看那些酒吧.. 你會看到奇怪的口琴 掉到1/n. 切換到锯牙.. 現在所有的口琴都到齊了 掉到1/n. 切換到噪音.. 平整的光谱,每一頻率都一樣.

改變視窗功能 . 看著漢恩如何以更大的峰值來平滑光谱. 切換到 Blackman -- 更窄的山峰,但下邊的.

你不是在看FFT. 你在測量信號 觀察變化所揭示的. 即知解之异.

參考

• 布里格姆,E. O. (1988年). * 《快速變形》及其應用程序*. 普倫蒂斯·霍爾.
• 柯利, J. W. & Tukey, J. W. (1965). Fourier系列机器計算法. *算法 *,19(90),297-301.
• 傅里叶, J. (1822). * 沙勒河分析*. 巴黎:菲爾明·迪多特.
• 哈里斯 F. J. 1978年. 使用視窗與Discrete Fourier 變化的調谐分析 . * IEEE的收益*,66(1),51-83.
• 奧本海姆 A. V. & Schafer, R.W. (2009年). * 第3版. 普倫蒂斯·霍爾.
• 香农,C. E. (1949). 在噪音的存在中的交流. * IRE的收益*,37(1),10-21.
• 史密斯, S. W. (1997年). * 科學家和工程師數位信號處理指南*. 加州技術出版社.
• 王, A., 等. 2003年. 工業- Strength 音效搜尋算法 . * 2003年ISMIR收益. (Shazam的音效指紋算法)
• G.K. (1991年). JPEG Still Pictures 壓縮標準 . * ACM通信*,34(4),30-44.

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PinePaper的FFT是Cooley-Tukey radex-2的實施,配有漢恩,哈明,和布莱克曼的視窗,加上低通和高通滤波器. 在 [pinepaper. studio/editor] (/editor) 自由試試.