آپ کو کن طریقوں سے خدا کی خدمت کرنی چاہئے ؟

آپ کیا کر سکتے ہیں ؟

ایک تار سے ایک وزن. اسے ایک طرف ڈال دو. چلو. یہ خطرناک ہے.

آپ نے صرف ایک مختلف مساوات کے زیر انتظام ایک نظام بنایا-

dθ/d = ω dω/dt = -(g/L) sec (θ) گناہ –

θ زاویہ ہے۔. ω انجار رفتار ہے۔. جی کشش ثقل (9.81 m/s2) ہے۔. ایل (انگریزی: L) لمبا ہوتا ہے۔. یہ دونوں لائنیں کہتی ہیں: زاویے کی تبدیلی رفتار کے برابر ہوتی ہے اور رفتار میں تبدیلی ایک رفتار پر ہوتی ہے جو کشش ثقل، لمبائی اور موجودہ زاویہ پر منحصر ہوتی ہے۔.

مسئلہ: ہم بالکل حل نہیں کر سکتے۔. sin(θ) اسے غیر لائن بناتا ہے۔. کوئی ایسا فارمولہ نہیں جو آپ کو کسی بھی وقت T دیتا ہو۔. لہٰذا ہمارے خیال میں — ہم چھوٹے چھوٹے داخلی معاملات میں آگے بڑھتے ہیں، اگلی ریاست کو موجودہ حالت سے کمپیوٹر.

اس طرح ایک ODE حل کنندہ کرتا ہے۔. اور اسے کرنے کے بہتر اور بدترین طریقے ہیں۔.

یو

سب سے آسان نظریہ: اگر اب ریاست کو معلوم ہو جائے اور میں تبدیلی کی رفتار سے واقف ہوں تو میں ریاست کو تھوڑی دیر بعد طے کر سکتا ہوں۔.

next_angle = current_angle + velocity × dt
next_velocity = current_velocity + acceleration × dt

یہ ایولر کا طریقہ ہے۔. یہ ایسا ہے جیسے فانگ کے ذریعے چل رہا ہو: آپ ایک قدم آگے دیکھ سکتے ہیں، تو آپ اسے قدم اٹھا سکتے ہیں، پھر دوبارہ دیکھو. کوڈ:

function euler(f, t, y, dt) {
  const dy = f(t, y);
  return [
    y[0] + dt * dy[0],
    y[1] + dt * dy[1]
  ];
}

مسئلہ: ایولر کا طریقہ کار پہلی بار ترتیب صحیح ہے۔. اس کا مطلب ہے کہ اگر آپ قدم حجم کو الٹ دیں تو آپ غلطی کو حل کریں. ایک پنجابی کے لیے یہ غلطی جمع شدہ مواد — اِس کی وجہ یہ ہے کہ اِن میں سے زیادہ‌تر لوگ توانائی حاصل کرتے ہیں ۔. چند منٹ بعد یہ مکمل دائرے میں تبدیل ہو جاتا ہے۔. یہ کبھی نہیں کرتا.

ایس . اے

1901ء میں کارل رانجی اور مارٹن کوٹہ نے ایک بہتر طریقہ شائع کیا۔. تبدیلی کی رفتار پر نظر ڈالنے کی بجائے اسے چار بار دیکھیں:

1. قدم کے آغاز پر اسرائين کا اندازہ لگائیں
2. K1 کا استعمال کرتے ہوئے ، ڈھال کی پیمائش کریں وہاں جرن K2
3. کی2 استعمال کرتے ہوئے ، پیمائش دوبارہ شروع کریں
4. K3 کو استعمال کرتے ہوئے آخر تک قدم اُٹھائیں، ایک سے زیادہ وقت لگ بھگ 4
5. مجموعہ : وزن اوسط (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) / 6

یہ چوتھی حدیث صحیح ہے۔. مرحلہ حجم اور غلطی 16 کے ایک عنصر سے گرتی ہے۔. ہزاروں کی تعداد میں یہ توانائی درست ہو جاتی ہے ۔.

یہ دعویٰ ایمان کی بجائے جائز ہے ۔. نیچے دونوں طریقے ایتھنز y′ = y 0 سے 1 — کہاں صحیح جواب ہے ** چار مرحلے پر حجم. مرحلے کی تقسیم تقریباً 2 اور RK4 کی جانب سے تقریباً 16 کے قریب ہے۔, جو پہلی حدیث اور چوتھی حدیث کے معنی ہے۔.

function rk4(f, t, y, dt) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k1[0], y[1] + dt/2 * k1[1]]);
  const k3 = f(t + dt/2, [y[0] + dt/2 * k2[0], y[1] + dt/2 * k2[1]]);
  const k4 = f(t + dt,   [y[0] + dt   * k3[0], y[1] + dt   * k3[1]]);
  return [
    y[0] + (dt/6) * (k1[0] + 2*k2[0] + 2*k3[0] + k4[0]),
    y[1] + (dt/6) * (k1[1] + 2*k2[1] + 2*k3[1] + k4[1])
  ];
}

یہ طریقہ پی پی جی0X کے استعمالات ہیں جو پندرہ، سپرنگ-ماس اور وان der پول کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔. یہ وہی طریقہ ہے جو Aerospace trajectory حسابات میں استعمال کیا جاتا ہے۔. کوڈ کی 22 لائنیں.

اِس صورتحال کی وجہ

پنجابی ادبی مثال ہے۔. لیکن وہی تکنیک — آگے قدم، پیمائش، درستی — جس جگہ بھی آپ میں تبدیلی کی شرح موجود ہے:

• [1 - ایکس/K)۔. مثال کے طور پر اِن میں سے ہر ایک کی صلاحیت ہے ۔. سیم حل کرنے والا.
• [ صفحہ ۷ پر تصویر ]. سیم حل کرنے والا.
• نیوکلیئر نیٹ ورکز کے تحت : کششِ‌ثقل پیدا کرنا ایک خطرناک او‌ڈی ہے ۔. ہر ٹریننگ مرحلے میں گرتی ہوئی سطح کے ساتھ ایک ایولر مرحلہ ہوتا ہے۔.
• [حوالہ درکار] [حوالہ درکار] : D/dt = R·y] کے ذریعے مسلسل دلچسپی رکھنے والے مرکبات۔. اقتصادی ترقی سب سے آسان ODE ہے۔.
• [حوالہ درکار] Annimation settlement: Constructions sequant-damper ODEs کا حل ہے۔. CSS میں "elmatic" اور "بونسی" کے مرکبات جسمانی مرکبات ہیں۔.

حساب بدل نہیں سکتا۔. ڈومین کرتا ہے۔. یہی وجہ ہے کہ اسے ایک زبان قرار دیا جاتا ہے — اِسی گرام میں بھیڑوں کو شمار کرتے ہیں ، اُن کی دیکھ‌بھال کی جاتی ہے اور اُنہیں نیٹ‌ورک کی تربیت دی جاتی ہے ۔.

اپنی کوشش کریں

اوپن PinePaper اور Dynamic System generation منتخب کرتا ہے۔. "پندؤم" منتخب کریں۔ بُرییاں ۔. اب پیرامیٹرز بدلتی ہیں:

• بھاری بھاری وقفہ تیز رفتار (shorter مدت)
• لاٹھی کی لمبائی میں اضافہ کریں
• ایک بڑے زاویے پر شروع کرنا

ہر تبدیلی آپ کو ایک پیمائش ہے. آپ نے ایک پیرامیٹر تبدیل کرکے نتیجہ کا مشاہدہ کیا۔. RK4 حل شدہ 30 فریمز فی سیکنڈ اور پندرہویں ترمیم نے آپ کو ظاہر کیا کہ مساوات کی پیشینگوئی کیا ہے۔.

یہ پورا نقطہ ہے. حساب لگایا جاتا ہے۔. PinePaper اسے ظاہر کرتا ہے۔.

حوالہ جات

• بٹلر، جے سی ؛. (2016ء)۔. * بین‌الاقوامی آب‌و ہوا کے استعمال کے لئے استعمال ہونے والے عطیات * (3rd ed ۔. ویلی.
• ڈورمنڈ، جے آر ؛. & پرنس، پی جے ؛. (1980ء)۔. رجنی-کوتا فارمولے کا ایک قبیلہ۔. * جوارنال آف کوال اینڈ اپریکلز* 6(1)، 19-26۔.
• ایولر، ایل ؛. (1768ء)۔. *. 1۔. Impensis Academiae Imperium۔.
• ہائرر، ای، نرگسٹ، ایس پی، اینڈ ونر، جی ؛. (1993ء)۔. * عام طور پر اُن میں فرق کرنا : غیر واضح مسائل* ( 2 ) ۔. سپرنگ.
• کوئٹہ، ڈبلیو ؛. (1901)۔. Beitrag Zur Näherungsweisen Integration مجموعی طور پر تعارفیگلیچونگن۔. Zeitschrift Für Mathematik und Physik 46, 435-453۔.
• نیوٹن، I. (1687ء)۔. * Philosophiophiva naturalius Princeia Mathema*. لندن: جوزف سفیر۔.
• رند، سی ؛. (1895)۔. Über dies Neumerische Auflösung von diffialgleichungen. Mathematische Annalen، 46(2)، 167-178۔.
• سٹرگیٹز، ایس ایچ ؛. (2015)۔. * نُناِنِّر دَمِیْتَقُمْ وَالْأَوْمَةٍ (2۔. ویسٹ ویژن پریس۔.

---

PinePaper کا ODE حلر ایولر، RK4 پر محیط ہے اور مطابقت انگیز ڈورمنڈ-Prince RK45 تقریباً 200 لائنوں میں۔. pinر اخبار.studio/editorکو آزادانہ طور پر کوشش کریں۔.